根据提供的信息，以下是一些可以请半个月病假的疾病：
1. 急性肠胃炎：由细菌或病毒感染引起，需休息和治疗。
2. 肺炎：肺部感染，可能需要抗生素和止咳药物。
3. 带状疱疹：水痘-带状疱疹病毒引起，需抗病毒药物和止痛药。
4. 严重的腰肌劳损：腰部肌肉疼痛和活动受限，需要休息和物理治疗。
5. 急性胆囊炎：右上腹疼痛和恶心，可能需要禁食、抗感染和解痉止痛。
6. 骨折：需要固定和恢复，可能伴随疼痛和活动限制。
7. 子宫功能性出血、甲型肝炎或乙型肝炎：需要足够的休息和治疗。
8. 盆腔炎、人流手术或腹腔镜手术：手术后需要恢复期。
9. 黄体破裂：可能发生在年轻女性中，需要休息。
10. 轻微骨裂：需要固定和恢复，可能伴随疼痛。
请注意，请病假需要有医生开具的正规医疗机构疾病诊断证明。此外，每个公司对于病假的规定可能不同，请根据您所在公司的规定进行申请